Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=x²，當(dāng)x＞1時，f（x+1）=f（x）+f（1），且若直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有5個不同的公共點，則實數(shù)k的值為

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)在x∈[1，2]的函數(shù)的解析式，通過函數(shù)的奇偶性，求出函數(shù)在x∈[1，2]相切，求出切線的斜率即可求出實數(shù)k的值．

解答： 解：當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=x²，當(dāng)x＞1時，f（x+1）=f（x）+f（1），
當(dāng)1≤x≤2時，f（x）=f（x-1）+f（1）=（x-1）²+1，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有5個不同的公共點，
∴x＞0時，兩個函數(shù)的圖象，只有2個交點，如圖：
設(shè)切點為（a，f（a））．
f′（x）=2x-2．
則：

a2-2a+2

a

=2a-2，解得a=

2

．
∴k=2

2

-2．
此時有兩個交點，x＜0時，也有兩個交點，x=0也是交點，
∴k=2

2

-2時有5個交點．
故答案為：2

2

-2

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查函數(shù)的對稱性、周期性、奇偶性的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與作圖能力，屬于難題．