Question

9．對(duì)于函數(shù)f（x），若f（x₀）=x₀，則稱x₀為函數(shù)f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”：若f（f（x₀））=x₀，則稱x₀為f（x）的“穩(wěn)定點(diǎn)”，如果函數(shù)f（x）=ax²+1（a∈R）的穩(wěn)定點(diǎn)恰是它的不動(dòng)點(diǎn)，那么a的取值范圍為（　　）

• A． $（-∞，\frac{1}{4}]$
• B． $（-\frac{3}{4}，+∞）$
• C． $[-\frac{3}{4}，\frac{1}{4}]$
• D． $（-1，\frac{1}{4}]$

Answer 1

分析 x₀為函數(shù)f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”，則方程f（x）=x，即ax²+1-x=0有實(shí)根，故△=1+4a≥0，得出a的范圍，
由方程f（f（x））=x，化為：（ax²+1）²+1=x，即（ax²+1）²-x²+x²+a=x，利用平方差公式分解因式得，（x²+a-x）（x²+x+a+1）=0，由函數(shù)f（x）=x²+a（a∈R）的“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動(dòng)點(diǎn)”，得方程x²+x+a+1=0無(wú)實(shí)數(shù)根，再解出a的范圍．

解答 解：x₀為函數(shù)f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”，則方程f（x）=x，即ax²+1-x=0有實(shí)根，故△=1-4a≥0，∴a$≤\frac{1}{4}$，
如果“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動(dòng)點(diǎn)”，則上述方程的根x₀為方程f（f（x））=x，即ax²+1=x的實(shí)根，
方程f（f（x））=x可化為：a（ax²+1）²+1=x，即a（ax²+1）²-ax²+ax²+1=x，利用平方差公式分解因式得，
∴a（ax²+1+x）（ax²+1-x）+（x²+a-x）=0，∴a（x²+a-x）（x²+x+a+1）=0，
∵函數(shù)f（x）=ax²+1（a∈R）的“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動(dòng)點(diǎn)”，∴方程x²+x+a+1=0無(wú)實(shí)數(shù)根，
∴1-4（a+1）＜0，∴$a＞-\frac{3}{4}$，
綜上，$\frac{1}{4}≥a＞-\frac{3}{4}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)新概念的理解和運(yùn)用的能力，同時(shí)考查了二次方程根的相關(guān)知識(shí)．