Question

【題目】已知函數(shù) 的定義域為集合A，y=﹣x2+2x+2a的值域為B．
（1）若a=2，求A∩B
（2）若A∪B=R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意：整理得A={x︳x＞3}，函數(shù)y=﹣x2+2x+2a=﹣（x﹣1）2+1+2a≤1+2a，即B={x︳x≤2a+1}，

當a=2時，B={x|x≤5}，

∴A∩B={x︳3＜x≤5}

（2）解：∵A∪B=R，∴根據(jù)題意得：2a+1≥3，

解得：a≥1，

則實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）

【解析】求出函數(shù)y= 的定義域確定出A，求出y=﹣x2+2x+2a的值域確定出B，（1）把a=2代入確定出B，求出A與B的交集即可；（2）由A與B的并集為R，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用集合的并集運算和集合的交集運算的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握并集的性質(zhì)：（1）AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A;（2）若A∪B=B，則AB，反之也成立；交集的性質(zhì)：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，則AB，反之也成立．