如圖在空間直角坐標(biāo)系中BC=2，原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（
3
2
，
1
2
，0），點(diǎn)D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（I）求向量
OD
的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)向量
AD
和
BC
的夾角為θ，求cosθ的值．
（1）過D作DE⊥BC，垂足為E，
在Rt△BDC中，因為∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，
所以可得BD=1，CD=
3
，
∴DE=CD•sin30°=
3
2
．
所以O(shè)E=OB-BE=OB-BD•cos60°=1-
1
2
=
1
2
，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-
1
2
，
3
2
），
所以
OD
=（0，-
1
2
，
3
2
）．
（2）依題意可得：
OA
=(
3
2
，
1
2
，0)，
OB
=(0，-1，0)，
OC
=(0，1，0)，
所以
AD
=
OD
-
OA
=(-
3
2
，-1，
3
2
)，
BC
=
OC
-
OB
=(0，2，0)．
因為向量
AD
和
BC
的夾角為θ，
所以cosθ=
AD
•
BC
|
AD
|•|
BC
|
=
-
3
2
×0+(-1)×2+
3
2
×0
(-
3
2
)2+(-1)2+(
3
2
)2
•
02+22+02
=-
1
5
10
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知a、b、c是平面α內(nèi)相交于一點(diǎn)O的三條直線，而直線l和α相交，并且和a、b、c三條直線成等角．
求證：l⊥α

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，DD1=2
2
，則AC1與面BDD1所成角的大小是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱長都是2，D是棱AC的中點(diǎn)，E是棱CC1的中點(diǎn)，AE交A1D于點(diǎn)H．
（1）求證：AE⊥平面A1BD；
（2）求二面角D-BA1-A的大�。ㄓ梅慈呛瘮�(shù)表示）
（3）求點(diǎn)B1到平面A1BD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

[理]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中點(diǎn)，H為平面EDB內(nèi)一點(diǎn)，
HC1
={2m，-2m，-m}(m＜0)
（1）證明HC1⊥平面EDB；
（2）求BC1與平面EDB所成的角；
（3）若正方體的棱長為a，求三棱錐A-EDB的體積．
[文]若數(shù)列{an}的通項公式an=
1
(n+1)2
(n∈N+)，記f（n）=（1-a1）（1-a2）…（1-an）．
（1）計算f（1），f（2），f（3）的值；
（2）由（1）推測f（n）的表達(dá)式；
（3）證明（2）中你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點(diǎn)．
（1）在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
（2）若二面角A-B1E-A1的大小為30°，求AB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=
π
4
，PA⊥底面ABCD，PA=2，M為PA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．AF⊥CD于F，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求出平面PCD的一個法向量并證明MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB=FB=1．
（ I）求二面角C-DE-C1的正切值；（ II）求直線EC1與FD1所成的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知兩個非零向量a與b，定義|a×b|＝|a|·|b|sin θ，其中θ為a與b的夾角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，則|a×b|的值為________．

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同步練習(xí)冊答案