【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)滿足以為直徑的圓過(guò)橢圓的上頂點(diǎn).

1)求橢圓的方程;

2)已知直線過(guò)右焦點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn),在軸上是否存在點(diǎn)使得為定值?如果存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,說(shuō)明理由.

【答案】1;(2)存在,

【解析】

1)由點(diǎn)在橢圓上代入可得的關(guān)系,再由點(diǎn)滿足以為直徑的圓過(guò)橢圓的上頂點(diǎn).可得可得,的關(guān)系,再由,的關(guān)系求出橢圓的方程;

2)由(1)可得右焦點(diǎn)的坐標(biāo),分坐標(biāo)的斜率為0和不為0兩種情況討論,假設(shè)存在滿足條件,設(shè)直線的方程,與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積,進(jìn)而求出數(shù)量積的表達(dá)式,要使數(shù)量積為定值,則分子分母對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)成比例,可得的值,且可求出定值.

解:(1)由題意可得上頂點(diǎn),所以:,,即,,

解得:,,

所以橢圓的方程為:

2)由(1)可得右焦點(diǎn)的坐標(biāo),假設(shè)存在

當(dāng)直線的斜率不為0時(shí),設(shè)直線的方程為:,設(shè),,,

聯(lián)立直線與橢圓的方程,整理可得:,,

,,

因?yàn)?/span>

要使為定值,則,解得:,這時(shí)為定值,

當(dāng)直線的斜率為0時(shí),則,,,則,,

綜上所述:所以存在,使為定值.

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分組

手機(jī)價(jià)格X(元)

頻數(shù)

10

x

y

20

20

1)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第一、二、三組中隨機(jī)抽取6人,將該樣本看成一個(gè)總體,從中隨機(jī)抽取2人,求其中恰有1人能接受的價(jià)格不低于2000元的概率;

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1)求這200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間的樣本平均數(shù);

2)為查找影響學(xué)生閱讀時(shí)間的因素,學(xué)校團(tuán)委決定從每周閱讀時(shí)間為,的學(xué)生中抽取9名參加座談會(huì).

i)你認(rèn)為9個(gè)名額應(yīng)該怎么分配?并說(shuō)明理由;

ii)座談中發(fā)現(xiàn)9名學(xué)生中理工類專業(yè)的較多.請(qǐng)根據(jù)200名學(xué)生的調(diào)研數(shù)據(jù),填寫下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生閱讀時(shí)間不足(每周閱讀時(shí)間不足8.5小時(shí))與“是否理工類專業(yè)”有關(guān)?(精確到0.1

閱讀時(shí)間不足8.5小時(shí)

閱讀時(shí)間超過(guò)8.5小時(shí)

理工類專業(yè)

40

60

非理工類專業(yè)

附:).

臨界值表:

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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