Question

（本題滿分13分)
設函數
若，求曲線處的切線方程；
討論函數的單調性.

Answer 1

（1）.
（2）當時，函數在上單調遞增；
當時，函數在上單調遞減；
當時，在，上單調遞減，
在上單調遞增.

試題分析：（1）由題意知時，，求切線的斜率，即，又，由直線方程的點斜式進一步整理，得到切線方程為.
（2）函數的定義域為，
，根據的不同情況，討論導函數值的正負，以確定函數的單調性.其中時，情況較為單一，，函數在上單調遞增，
當時，令，
由于，再分，，等情況加以討論.
試題解析：（1）由題意知時，，
此時，
可得，又，
所以曲線在處的切線方程為.
（2）函數的定義域為，
，
當時，，函數在上單調遞增，
當時，令，
由于，
當時，，
，函數在上單調遞減，
當時，，
，函數在上單調遞減，
當時，，
設是函數的兩個零點，
則，，
由 ，
所以時，，函數單調遞減，
時，，函數單調遞增，
時，，函數單調遞減，
綜上可知，當時，函數在上單調遞增；
當時，函數在上單調遞減；
當時，在，上單調遞減，
在上單調遞增.