Question

已知點P是雙曲線的一個交點，F₁，F₂是該雙曲線的兩個焦點，∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．
B．
C．2
D．

Answer 1

【答案】分析：根據雙曲線基本量的平方關系，可得圓x²+y²=a²+b²的半徑為c，經過F₁和F₂．由此可得Rt△PF₁F₂中，∠PF₁F₂=30°且∠PF₂F₁=60°，得到|PF₁|=且|PF₂|=c，再用雙曲線的定義及離心率公式即可算出該雙曲線的離心率．
解答：解：∵雙曲線方程為
∴雙曲線的焦點坐標為F₁（-c，0）、F₂（c，0），其中c=
∵圓方程為x²+y²=a²+b²，即x²+y²=c²
∴該半徑等于c，且圓經過F₁和F₂．
∵點P是雙曲線與圓x²+y²=a²+b²的交點，
∴△PF₁F₂中，|OP|=c=|F₁F₂|，可得∠F₁PF₂=90°
∵∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，且∠PF₂F₁+∠PF₁F₂=90°
∴∠PF₁F₂=30°，且∠PF₂F₁=60°，由此可得|PF₁|=，|PF₂|=c
根據雙曲線定義，可得2a=|PF₁|-|PF₂|=（-1）c
∴雙曲線的離心率e===
故選：D
點評：本題給出雙曲線與圓相交，在已知焦點三角形中的角度關系下求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標準方程與簡單性質的知識，屬于基礎題．