Question

3．設命題p：函數(shù)f（x）=x²-2ax-1在區(qū)間（-∞，3）上單調(diào)遞減；命題q：x²+ax+1＞0對x∈R恒成立．如果命題p或q為真命題，p且q為假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 先分別求得p為真命題，q為真命題時，a的范圍，再根據(jù)命題p或q為真命題，p且q為假命題，可得p和q有且只有一個是真命題，從而分p真q假，p假 q真，分別求得a的范圍，最后求出它們的并集即可

解答 解：∵命題p：函數(shù)f（x）=x²-2ax-1在區(qū)間區(qū)間（-∞，3）上單調(diào)遞減，
∴當p為真，對稱軸x=a，
∴a≥3，
又∵命題q：x²+ax+1＞0對x∈R恒成立．
∴當q為真，△=a²-4＜0，即-2＜a＜2
∵如果命題p∨q為真命題，p∧q為假命題
∴∴p、q一真一假
①p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{a≥3}\\{a≤-2或a≥2}\end{array}\right.$，解得a≥3，
②p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{a＜3}\\{-2＜a＜2}\end{array}\right.$，解得-2＜a＜2，
綜上所述a的取值范圍為：（-2，2）∪[3，+∞）．

點評 本題以命題為載體，考查復合命題的真假運用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)命題p或q為真命題，p且q為假命題，可得p和q有且只有一個是真命題．