Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，AB=2，點(diǎn)D₁是棱B₁C₁的中點(diǎn)．
（I）求證：A₁D₁⊥平面BB₁C₁C；
（II）已知線段A₁B₁上的一點(diǎn)P，滿(mǎn)足直線AP與平面A₁D₁C所成角的正弦值為

30

15

，求

A1P

A1B1

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）通過(guò)空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面CA₁D₁的法向量及斜線AP的向量坐標(biāo)，進(jìn)而求出其夾角，即可解決問(wèn)題．

解答：解：（Ⅰ）∵A₁B₁=A₁C₁，點(diǎn)D₁是棱B₁C₁的中點(diǎn)．
∴A₁D₁⊥B₁C₁，
又∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁，∴BB₁⊥B₁C₁，
又∵BB₁∩B₁C₁，
∴A₁D₁⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵AB=AC=AA₁=2，
∴A（0，0，0），A₁（0，0，2），C（0，-2，0），C₁（0，-2，2），B₁（-2，0，2），D₁（-1，-1，2）．

CA1

=（0，2，2），

CD1

=（-1，1，2），
設(shè)平面A₁D₁C的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • CA1 =0 n • CD1 =0

即

2y+2z=0 -x+y+2z=0

，
令y=-1，則z=1，x=1，∴

n

=(1，-1，1)．
設(shè)

A1P

=λ

A1B1

，0≤λ≤1，
∵

A1B1

=（-2，0，0），∴

A1P

=（-2λ，0，0），P（-2λ，0，2），

AP

=（-2λ，0，2）．
∵直線AP與平面A₁D₁C所成角的正弦值為

30

15

，
∴

30

15

=|cos＜

n

，

AP

＞|=

| n • AP |

| n | | AP |

=

|-2λ+2|

3 4λ2+4

，
化為3λ²-10λ+3=0，解得λ=

1

3

或3．
∵0≤λ≤1，
∴λ=

1

3

，即

A1P

A1B1

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面垂直的判定定理和通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系求出法向量與斜向量的夾角是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．