Question

設(shè)，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，求m的范圍．
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直，即可求a的值；
（2）先將原來的恒成立問題轉(zhuǎn)化為，設(shè)，即?x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）在（0，+∞）上單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可求得實數(shù)m的取值范圍．
（3）由（2）知，當(dāng)x＞1時，時，成立．不妨令，得出，再分別令k=1，2，…，n．得到n個不等式，最后累加可得．
解答：解：（1）-----------------------（2分）
由題設(shè)，
∴
∴1+a=1，∴a=0．-------------------------------（4分）
（2），?x∈（1，+∞），f（x）≤m（x-1），即
設(shè)，即?x∈（1，+∞），g（x）≤0．
-------------------------------------（6分）
①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，這與題設(shè)g（x）≤0矛盾．-----------------（8分）
②若m＞0方程-mx²+x-m=0的判別式△=1-4m²
當(dāng)△≤0，即時，g'（x）≤0．
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．-------------------------------------------（9分）
當(dāng)時，方程-mx²+x-m=0，其根，，
當(dāng)x∈（1，x₂），g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）＞g（1）=0，與題設(shè)矛盾．
綜上所述，．------------------------------------------------------------------------（10分）
（3）由（2）知，當(dāng)x＞1時，時，成立．
不妨令
所以，----------------------（11分）
---------------------（12分）
累加可得即------------------------（14分）
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．