Question

已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f（x）=

1

2

x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．設兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同．
（1）用a表示b，并求b的最大值；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）設出兩曲線的公共點坐標，求出兩曲線方程的導函數(shù)，由兩曲線在該點處的切線相同，所以把公共點的橫坐標分別代入兩曲線方程得到縱坐標相同且分別代入到導函數(shù)中的函數(shù)值也相等，聯(lián)立消去公共點的橫坐標得到a與b的關系式，令b=h（t），自變量t=a，得到一個關于t的函數(shù)，求出h（t）的導函數(shù)，令導函數(shù)大于0求出t的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令導函數(shù)小于0求出t的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極大值點，把求得的極大值點代入h（t）中即可求出b的最大值；
（2）把f（x）和g（x）的解析式代入到F（x）=f（x）-g（x）中得到F（x）的解析式，求出F′（x），根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域可知x大于0，由題意可知a大于0，所以分x大于a和x小于a大于0兩種情況討論導函數(shù)的正負即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到a為函數(shù)的極小值點，把x等于a代入到F（x）中即可求出極小值，且該函數(shù)無極大值點．

解答：解：（1）設y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同．
∵f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

，由題意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）
即

1 2 x02+2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

，
由x₀+2a=

3a2

x0

得：x₀²+2ax₀-3a²=0，即（x-a）（x+3a）=0，解得x₀=a或x₀=-3a（舍去）．
即有b=

1

2

a²+2a²-3a²lna=

5

2

a²-3a²lna，
令h（t）=

5

2

t²-3t²lnt（t＞0），則h′（t）=5t-6tlnt-3t=2t（1-3lnt），于是
當t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

時，h′（t）＞0；
當t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

時，h′（t）＜0，
故h（t）在（0，e

1

3

）上為增函數(shù)，在（e

1

3

，+∞）上為減函數(shù)，
則h（t）在（0，+∞）的最大值為h（e

1

3

）=

5

2

(e

1

3

)2-3(e

1

3

)2lne

1

3

=

3

2

e

2

3

；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+2 ax -3a2lnx-b(x＞0)，
則F′（x）=x+2α--

3a2

x

=

(x-a)(x+3a)

x

（x＞0）．
故F（x）在（0，α）為減函數(shù)，在（α，+∞）為增函數(shù)，
于是函數(shù)F（X）在x=a時有極小值F（α），F(xiàn)（X₀）=f（x₀）-g（x₀）=0無極大值．

點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是一道中檔題．