Question

已知直線x+y-1=0與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，M是線段AB上的一點(diǎn)，

AM

=-

BM

，且點(diǎn)M在直線l：y=

1

2

x上，
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓的焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在單位圓x²+y²=1上，求橢圓的方程．

Answer 1

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
（ 1）由

AM

=-

BM

，可得M是AB的中點(diǎn)，…（1分）
由

x+y-1=0 x2 a2 + y2 b2 =1

消去y，得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0…（4分）
∴x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，可得y₁+y₂=2-（x₁+x₂）=2-

2a2

a2+b2

=

2b2

a2+b2

…（5分）
因此，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

a2

a2+b2

，

b2

a2+b2

）
又∵點(diǎn)M在直線l：y=

1

2

x上，∴

b2

a2+b2

=

1

2

×

a2

a2+b2

…（6分）
化簡(jiǎn)得a²=2b²=2（a²-c²），可得a=

2

c，所以橢圓的離心率e=

c

a

=

2

2

…（7分）
（2）由（1）得b=c，不妨設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（b，0）
設(shè)F（b，0）關(guān)于直線 l：y=

1

2

x的對(duì)稱點(diǎn)為Q（x₀，y₀），…（8分）
則

y0-0 x0-b × 1 2 =-1 x0+b 2 -2× y0  2 =0

，解之得：

x0= 3b 5 y0= 4b 5

…（11分）
結(jié)合已知x02+y02=1，可得(

3b

5

)2+(

4b

5

)2=1，解之得b=1（舍負(fù)）…（13分）
因此，所求的橢圓的方程為

x2

2

+y2=1…（14分）