已知橢圓C1的中心為原點(diǎn)O,離心率e=
2
2
,其一個焦點(diǎn)在拋物線C2:y2=2px的準(zhǔn)線上,若拋物線C2與直線l:x-y+
6
=0相切.
(Ⅰ)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)T滿足:
OT
=
MN
+2
OM
+
ON
,其中M,N是C1上的點(diǎn),直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
,試說明:是否存在兩個定點(diǎn)F1,F(xiàn)2,使得|TF1|+|TF2|為定值?若存在,求F1,F(xiàn)2的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(I)由
y2=2px
x-y+
6
=0
,得y2-2py+2
6
p=0
,由△=0得拋物線C2的方程為:y2=4
6
x
,從而c=
6
,由離心率e=
c
a
=
2
2
,能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(II)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),T(x,y),由
OT
=
MN
+2
OM
+
ON
,得x=x1+2x2,y=y1+2y2,由直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
,得x1x2+2
y
 
1
y2=0
,由此利用已知條件推導(dǎo)出存在兩個定點(diǎn)F1,F(xiàn)2,且為橢圓
x2
60
+
y2
30
=1
的兩個焦點(diǎn),使得|TF1|+|TF2|為定值.
解答: 解:(I)由
y2=2px
x-y+
6
=0
,得y2-2py+2
6
p=0

∵拋物線C2:y2=2px與直線l:x-y+
6
=0相切,
∴△=4p2-8
6
p=0,解得p=2
6
.…(2分)
∴拋物線C2的方程為:y2=4
6
x
,其準(zhǔn)線方程為:x=-
6
,∴c=
6

∵離心率e=
c
a
=
2
2
,∴a=
12
,b2=12-6=6,
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
12
+
y2
6
=1
.…(4分)
(II)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),T(x,y),
OT
=
MN
+2
OM
+
ON
,
得(x,y)=(x2-x1,y2-y1)+2(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+2x2,y1+2y2),
x=x1+2x2,y=y1+2y2,…(6分)
設(shè)kOM,kON分別為直線OM,ON的斜率,由題設(shè)條件知:
kOM•kON=
y1y2
x1x2
=-
1
2

x1x2+2
y
 
1
y2=0
,…(8分)
∵點(diǎn)M,N在橢圓x2+2y2=12上,
x12+2y12=12,x22+2y22=12,
x2+2y2=(x12+4x22+4x2x2)+2(y12+4y22+4y1y2
=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+y1y2)
=60+4(x1x2+2y1y2),
∴x2+2y2=60,從而可知:T點(diǎn)是橢圓
x2
60
+
y2
30
=1
上的點(diǎn),…(11分)
∴存在兩個定點(diǎn)F1,F(xiàn)2,且為橢圓
x2
60
+
y2
30
=1
的兩個焦點(diǎn),
使得|TF1|+|TF2|為定值,其坐標(biāo)為F1(-
30
,0)
,F2(
30
,0)
.…(12分)
點(diǎn)評:本題考查橢圓方程的求法,考查滿足條件的兩個定點(diǎn)是否存在的判斷與求法,解題時要認(rèn)真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
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已知P(-5,0),點(diǎn)Q是圓(x-5)2+y2=36上的點(diǎn),M是線段PQ的中點(diǎn).
(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡C的方程.
(Ⅱ)過點(diǎn)P的直線l和軌跡C有兩個交點(diǎn)A、B(A、B不重合),①若|AB|=4,求直線l的方程.②求
PA
PB
的值.

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已知a,b為常數(shù),a≠0,函數(shù)f(x)=(a+
b
x
ex

(1)若a=2,b=1,求f(x)在(0,+∞)內(nèi)的極值;
(2)①若a>0,b>0,求證:f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù);
②若f(2)<0,f(-2)<e-2,且f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),求由所有點(diǎn)(a,b)形成的平面區(qū)域的面積.

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已知橢圓C方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),左、右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,若橢圓C上的點(diǎn)P(1,
3
2
)到F1,F(xiàn)2的距離和等于4.
(Ⅰ)寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M是橢圓C的動點(diǎn),MF1交橢圓與點(diǎn)N,求線段MN中點(diǎn)T的軌跡方程;
(Ⅲ)直線l過定點(diǎn)M(0,2),且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,若∠A0B為銳角(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍.

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判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1)f(x)=x2+|x|;
(2)f(x)=x2+x+1.

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已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+ax2+bx,且f′(-1)=0.
(1)試用含a的代數(shù)式表示b;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)a=3時,設(shè)函數(shù)f(x)在x1,x2(x1<x2)處取得極值,記點(diǎn)M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),證明:線段MN與曲線f(x)存在異于M、N的公共點(diǎn).

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若F1,F(xiàn)2分別是橢圓
x2
4
+y2=1的左、右焦點(diǎn).
(1)設(shè)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)橢圓上的點(diǎn),且
PF1
PF2
=-
5
4
,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的點(diǎn)A,B,且
OA
OB
>0,(其中O為原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍.

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以40千米/時的速度向北偏東30°航行的科學(xué)探測船上釋放了一個探測氣球,氣球順風(fēng)向正東飄去,3分鐘后氣球上升到1千米處,從探測船上觀察氣球,仰角為30°,求氣球的水平飄移速度.

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OP
=(x,y),將
OP
逆時針旋轉(zhuǎn)角θ到OP′,則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為
 

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