Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若是的極值點(diǎn)，求的極大值；

（2）求實(shí)數(shù)的范圍，使得恒成立.

Answer 1

【答案】（1）的極大值為；（2）時(shí)，恒成立.

【解析】試題分析：（1）由于x=2是f（x）的極值點(diǎn)，則f′（3）=0求出a，進(jìn)而求出f′（x）＞0得到函數(shù)的增區(qū)間，求出f′（x）＜0得到函數(shù)的減區(qū)間，即可得到函數(shù)的極大值；

（2）由于f（x）≥1恒成立，即x＞0時(shí)，x2﹣（a+1）x+alnx≥0恒成立，設(shè)g（x）=x2﹣（a+1）x+alnx，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論參數(shù)a，得到函數(shù)g（x）的最小值≥0，即可得到a的范圍．

（1）

是的極值點(diǎn)，解得

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)變化時(shí)，

的極大值為

（2）要使得恒成立，即時(shí)，恒成立，

設(shè)，則，

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，由得函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為，由得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，此時(shí)，得

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由得函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為，由得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，此時(shí)不合題意.

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)不合題意

（ⅳ）當(dāng)時(shí)，由得函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為，由得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，此時(shí)不合題意.

綜上所述：時(shí)，恒成立.