Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足a1=2，Sn-4Sn-1-2=0（n≥2，n∈Z）．

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）令bn=log2an，Tn為{bn}的前n項(xiàng)和，求證 ＜2．

Answer 1

【答案】（1）an=22n-1．（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（I）利用數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

（II）利用“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)n≥3時(shí)，可得Sn-4Sn-1-2-（Sn-1-4Sn-2-2）=0（n≥2，n∈Z）．∴an=4an-1，

又因?yàn)?/span>a1=2，代入表達(dá)式可得a2=8，滿(mǎn)足上式．

所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=2，公比為4的等比數(shù)列，故：an=2×4n-1=22n-1．

（Ⅱ）證明：bn=log2an=2n-1．

Tn==n2．

n≥2時(shí)，=＜=． ≤1++…+=2-＜2．