Question

10．一般來說，一個(gè)人腳掌越長，他的身高就越高．現(xiàn)對10名成年人的腳掌x與身高y進(jìn)行測量，得到數(shù)據(jù)（單位：cm）作為一個(gè)樣本如下表示：

腳掌長（　�。�	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
身高（　�。�	141	146	154	160	169	176	181	188	197	203

（1）在上表數(shù)據(jù)中，以“腳掌長”為橫坐標(biāo)，“身高”為縱坐標(biāo)，作出散點(diǎn)圖后，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)在一條直線附近，試求“身高”與“腳掌長”之間的線性回歸方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（2）若某人的腳掌長為26.5cm，試估計(jì)此人的身高；
（3）在樣本中，從身高180cm以上的4人中隨機(jī)抽取2人作進(jìn)一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm以上的概率．
附：線性回歸方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$中，$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$，其中$\overline x$，$\overline y$為樣本平均值．
參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^{10}{（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）}=577.5$，$\sum_{i=1}^{10}{{{（{x_i}-\bar x）}^2}=82.5}$．

Answer 1

分析 （1）通過線性回歸方程，直接利用已知條件求出a，b，推出線性回歸方程．
（2）把某人的腳掌長為26.5cm，代入回歸方程即可求出此人的身高；
（3）將身高為181、188、197、203（cm）的4人分別記為A、B、C、D，記“從身高180cm以上4人中隨機(jī)抽取2人，所抽的2人中至少有1個(gè)身高在190cm以上”為事件A，列出基本事件，利用古典概型求出概率即可．

解答 解：（1）記樣本中10人的“腳掌長”為x_i（i=1，2，…10），“身高”為y_i（i=1，2，…10），
則$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}}^2}}}=\frac{577.5}{82.5}=7$，…（2分）
$\overline x=\frac{{{x_1}+{x_2}+…+{x_{10}}}}{10}=24.5$，$\overline y=\frac{{{y_1}+{y_2}+…+{y_{10}}}}{10}=171.5$，…（4分）
∴$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x=0$，…（5分）
∴所求回歸方程為$\widehaty=7x$．                                      …（6分）
（2）由（1）知$\widehaty=7x$，當(dāng)x=26.5時(shí)，$\widehaty=7×26.5=185.5$，
故估計(jì)此人的身高為185.5cm．                                  …（8分）
（3）將身高為181，188，197，203cm的4人分別記為A，B，C，D，
設(shè)“從身高180cm以上4人中隨機(jī)抽取2人，所抽的2人中至少有1個(gè)身高在190cm以上”為事件A，
則所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共6個(gè)，…（10分）
A包含的基本事件有：（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共5個(gè)，…（11分）
∴所求概率為$P（A）=\frac{5}{6}$．                                      …（12分）

點(diǎn)評 本題考查線性回歸方程的求法，古典概型的求解，考查分析問題解決問題的能力．