【題目】已知函數(shù),

1)求曲線在點處的切線方程;

2)若函數(shù)的圖像有兩個交點,它們的橫坐標分別為,求證:

【答案】(1)(2)證明見解析

【解析】

1)先對函數(shù)求導,得到,求出,進而可得出結(jié)果;

2)先令,對函數(shù)求導,得到,分別討論,,三種情況,用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,最值等,即可證明結(jié)論成立.

1)因為,

所以,

所以,又,

所以切線方程為:,即.

2)令,依題意有兩個零點.

①當,則,只有一個零點,

②當,由.

,則,故當時,,

因此上單調(diào)遞增.

又當時,,所以不存在兩個零點.

,則,故當時,

時,.

因此單調(diào)遞減,在)單調(diào)遞增.

又當時,,所以不存在兩個零點.

③當,則當時,;當時,,

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

,,取滿足,

,

存在兩個零點;

不妨設(shè),由③知,,上單調(diào)遞減,所以等價于,即.

由于,而

所以.

設(shè),則.

所以當時,,而,故當時,.

從而,故

練習冊系列答案
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