Question

【題目】若函數(shù)滿足：對于任意正數(shù)，，都有，，且，則稱函數(shù)為“速增函數(shù)”.

（1）試判斷函數(shù)與是否是“速增函數(shù)”；

（2）若函數(shù)為“速增函數(shù)”，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)為“速增函數(shù)”，且，求證：對任意，都有.

Answer 1

【答案】（1）是，不是；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)定義進行判斷即可，利用特殊值，舉出反例；

（2）根據(jù)定義可知，即對一切正數(shù)恒成立，可得，由，可得

得出，最后求出的范圍；

（3）根據(jù)定義，令，可知，即，故對于正整數(shù)與正數(shù)，都有，進而得出結論．

（1）對于函數(shù)，當，時，，

又，

所以，

故是“速增函數(shù)”.

對于函數(shù)，當時，，

故不是“速增函數(shù)”.

（2）當，時，由是“速增函數(shù)”，

可知，即對一切正數(shù)恒成立，

又，可得對一切正數(shù)恒成立，所以.

由，可得，

即

，

故，又，故，

由對一切正數(shù)，恒成立，可得，即．

綜上可知，的取值范圍是．

（3）由函數(shù)為“速增函數(shù)”，可知對于任意正數(shù)，，

都有，，且，

令，可知，即，

故對于正整數(shù)與正數(shù)，都有，

對任意，，可得，又，

所以，

同理，

故．