Question

3．在△ABC中，G為重心，O為任意一點(diǎn)，$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$[（1-λ）$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$+（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$]，求點(diǎn)P在怎樣的直線上？

Answer 1

分析 取AB的中點(diǎn)D，得出$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OD}$，化簡(jiǎn)$\overrightarrow{OP}$，根據(jù)平面向量的共線定理，得出P在邊AB的中線所在的直線上．

解答 解：取AB的中點(diǎn)D，則$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OD}$；
∵$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$[（1-λ）$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$+（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$]
=$\frac{1}{3}$（1-λ）（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）+$\frac{1}{3}$（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$
=$\frac{2}{3}$（1-λ）$\overrightarrow{OD}$+$\frac{1}{3}$（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$，
且$\frac{2}{3}$（1-λ）+$\frac{1}{3}$（1+2λ）=1，
∴P、C、D三點(diǎn)共線；
∴點(diǎn)P在邊AB上的中線所在的直線上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的加法運(yùn)算以及三點(diǎn)共線的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．