Question

已知a_n=

∫

n 0

（2x+1）dx，數(shù)列{

1

an

}的前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=n+8，則b_n•S_n的最小值為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,定積分

專題：計算題,綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用微積分基本定理可得a_n，利用裂項相消法可求得S_n，b_n•S_n=

n(n+8)

n+1

=n-

7

n+1

+7，由單調(diào)性可求得最值．

解答： 解：a_n=

∫

n 0

（2x+1）dx=(x2+x

)|

n 0

=n²+n=n（n+1），
則

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，Sn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

，
又b_n=n+8，∴b_n•S_n=

n(n+8)

n+1

=n-

7

n+1

+7，
易知n-

7

n+1

+7遞增，∴n=1時b_n•S_n取得最小值，為1-

7

2

+7=

9

2

，
故答案為：

9

2

．

點評：本題考查定積分、數(shù)列求和及函數(shù)性質(zhì)，裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握．