Question

（2003•崇文區(qū)一模）如圖，AB為⊙O的直徑，MB⊥⊙O所在的平面于點(diǎn)B，C為⊙O上一點(diǎn)，且MB=4，AC=BC=2．
（Ⅰ）證明：平面MAC⊥平面MBC；
（Ⅱ）求MA與BC所成角的大小；
（Ⅲ）設(shè)P為MA的中點(diǎn)，求點(diǎn)M到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)面面垂直的判定定理去證明：平面MAC⊥平面MBC；
（Ⅱ）利用異面直線(xiàn)所成角的定義，求MA與BC所成角的大��；
（Ⅲ）利用體積法求點(diǎn)到平面的距離．

解答：解：（I）證明：∵M(jìn)B⊥⊙O所在的平面，AC?⊙O所在平面，
∴MB⊥AC．
∵AB為⊙O的直徑，∴AC⊥BC．
又MB∩BC=B，∴AC⊥平面MBC．
∵AC?平面MAC，
∴平面 M AC⊥平面MBC．…（4分）
（II）解：過(guò)A作AD∥BC交⊙O于D，連結(jié)MD，
則∠MAD就是MA與BC所成的角．…（5分）
∵M(jìn)B⊥⊙O所在平面，又BD⊥AD，
由三垂線(xiàn)定理，得MD⊥AD．
∵ACBD是正方形，∴AD=BC=2．
又MA=

MB2+AB2

=

42+22+22

=2

6

．
在Rt△MDA中，cos∠MAD=

AD

MA

=

2

2 6

=

6

6

，
∴∠MAD=arccos

6

6

．
即MA與BC所成的角的大小為arccos

6

6

．…（10分）
（III）解：作PE⊥MC于E，∵平面MAC⊥平面 M BC，
∴PE⊥平面MBC．
∵M(jìn)B⊥平面ABC，BC⊥AC，∴MC⊥AC，
∴PE∥AC，∵P為MA的中點(diǎn)，∴PE=

1

2

AC=1．
∴S△MBC=

1

2

×2×4=4．
∴VM-PBC=VP-MBC=

1

3

×4×1=

4

3

．…（12分）
作PF⊥BC于F，則F為BC中點(diǎn)
∵PC=PB=

6

，
∴PF=

5

，S△PBC=

1

2

×2×

5

=

5

．
設(shè)M到平面PBC的距離為h，則

1

3

×

5

×h=

4

3

，
∴h=

4 5

5

．
即點(diǎn)M到平面PBC的距離為

4 5

5

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查面面垂直的判斷，以及異面直線(xiàn)所成角和空間點(diǎn)到平面的距離，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．