Question

3．如圖四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，且CD=2，AB=BC=PA=1，PD=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求三棱錐A-PCD的體積；
（Ⅱ）問：棱PB上是否存在點E，使得PD∥平面ACE？若存在，求出$\frac{BE}{BP}$的值，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD中點G，連接AG，利用已知可得：四邊形AGCB為平行四邊形，∠AGD=∠DCB=∠ABC=90°，在Rt△AGD中，AG=BC=1，DG=$\frac{1}{2}$CD=1，利用勾股定理與逆定理可得：PA⊥AD．利用面面垂直的性質定理可得：PA⊥平面ABCD，利用V_A-PCD=V_P-ACD=$\frac{1}{3}•{S}_{△ACD}•PA$，即可得出．
（II）棱PB上存在點E，當$\frac{BE}{BP}$=$\frac{1}{3}$時，PD∥平面ACE．連接BD交AC于點O，連接OE．利用平行線分線段成比例定理再三角形中的應用：可得OE∥DP．

解答 解：（Ⅰ）取CD中點G，連接AG，
∵CD=2AB，AB∥CD，
∴AB∥GC，AB=GC，
∴四邊形AGCB為平行四邊形，
∴∠AGD=∠DCB=∠ABC=90°，
在Rt△AGD中，∵AG=BC=1，DG=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴AD=$\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴PD²=3=PA²+AD²，
∴∠PAD=90°，即PA⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PA⊥平面ABCD，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}CD•AG$=1，
∴V_A-PCD=V_P-ACD=$\frac{1}{3}•{S}_{△ACD}•PA$
=$\frac{1}{3}×1×1$=$\frac{1}{3}$．
（ II）棱PB上存在點E，當$\frac{BE}{BP}$=$\frac{1}{3}$時，PD∥平面ACE．
證明：連接BD交AC于點O，連接OE．
∵AB∥CD，CD=2AB，
∴$\frac{BO}{OD}$=$\frac{AB}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BO}{BD}$=$\frac{1}{3}$，又$\frac{BE}{BP}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BO}{BD}=\frac{BE}{BP}$，
∴OE∥DP，
又OE?平面ACE，PD?ACE，
∴PD∥ACE．

點評 本題主要考查空間線線、線面的位置關系、體積的計算等基礎知識；考查空間想象能力、運算求解能力及推理論證能力，屬于中檔題．