Question

20．拋物線y=2x²的一組斜率為k的平行弦的中點的軌跡方程是x=$\frac{1}{4k}$（k≠0，拋物線內部）．

Answer 1

分析 設斜率為k的弦與拋物線交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），于是有k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，且k≠0，y₁=2x₁²，y₂=2x₂²，設AB的中點M（x，y），兩式相減即可求得斜率為k的直線截拋物線的弦的中點的軌跡方程．

解答 解：設斜率為k的弦與拋物線交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，且k≠0，y₁=2x₁²，y₂=2x₂²，
∴y₂-y₁=2（x₂²-x₁²），即y₂-y₁=2（x₂+x₁）（x₂-x₁），
設AB的中點M（x，y），則x₂+x₁=2x，
∴k=4x（k≠0），
整理得：x=$\frac{1}{4k}$（k≠0）．
∴拋物線y=2x²的一組斜率為k的平行弦的中點的軌跡方程是x=$\frac{1}{4k}$（k≠0）．
故答案為：x=$\frac{1}{4k}$（k≠0，拋物線內部）．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，考查軌跡方程的求法，考查推理與運算能力，屬于中檔題．