Question

已知過點（0，1）的直線l與曲線C：y=x+

1

x

(x＞0)交于兩個不同點M和N．求曲線C在點M、N處切線的交點軌跡．

Answer 1

分析：設點M、N的坐標，然后設出直線l的方程，與曲線C聯(lián)立方程組，求出k的取值范圍，然后利用導數(shù)求出在點M、N處切線的斜率，從而求出切線方程，最后聯(lián)立兩切線方程，可求出交點軌跡．

解答：解：設點M、N的坐標分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），曲線C在點M、N處的切線分別為l₁、l₂，
其交點P的坐標為（x_p，y_p）．若直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1．
由方程組

y=x+ 1 x y=kx+1

，消去y，得x+

1

x

=kx+1，即（k-1）x²+x-1=0．
由題意知，該方程在（0，+∞）上有兩個相異的實根x₁、x₂，故k≠1，且△=1+4（k-1）＞0…（1），x1+x2=

1

1-k

＞0…（2），x1x2=

1

1-k

＞0…（3），
由此解得

3

4

＜k＜1．對y=x+

1

x

求導，得y′=1-

1

x2

，
則y′|x=x1=1-

1

x 2 1

，y′|x=x2=1-

1

x 2 2

，于是直線l₁的方程為y-y1=(1-

1

x 2 1

)(x-x1)，
即y-(x1+

1

x1

)=(1-

1

x 2 1

)(x-x1)，化簡后得到直線l₁的方程為y=(1-

1

x 2 1

)x+

2

x1

…（4）．
同理可求得直線l₂的方程為y=(1-

1

x 2 2

)x+

2

x2

…（5）．
（4）-（5）得(

1

x 2 2

-

1

x 2 1

)xp+

2

x1

-

2

x2

=0，
因為x₁≠x₂，故有xp=

2x1x2

x1+x2

…（6）．將（2）（3）兩式代入（6）式得x_p=2．
（4）+（5）得2yp=(2-(

1

x 2 1

+

1

x 2 2

))xp+2(

1

x1

+

1

x2

)…（7），
其中

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=1，

1

x 2 1

+

1

x 2 2

=

x 2 1 + x 2 2

x 2 1 x 2 2

=

(x1+x2)2-2x1x2

x 2 1 x 2 2

=(

x1+x2

x1x2

)2-

2

x1x2

=1-2(1-k)=2k-1，
代入（7）式得2y_p=（3-2k）x_p+2，而x_p=2，得y_p=4-2k．
又由

3

4

＜k＜1得2＜yp＜

5

2

，即點P的軌跡為（2，2），（2，2.5）兩點間的線段（不含端點）．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及軌跡問題，同時考查了計算能力和分析問題的能力，屬于中檔題．