Question

已知過點（0，1）的直線l與曲線C：交于兩個不同點M和N．求曲線C在點M、N處切線的交點軌跡．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)點M、N的坐標(biāo)，然后設(shè)出直線l的方程，與曲線C聯(lián)立方程組，求出k的取值范圍，然后利用導(dǎo)數(shù)求出在點M、N處切線的斜率，從而求出切線方程，最后聯(lián)立兩切線方程，可求出交點軌跡．
解答：解：設(shè)點M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），曲線C在點M、N處的切線分別為l₁、l₂，
其交點P的坐標(biāo)為（x_p，y_p）．若直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1．
由方程組，消去y，得，即（k-1）x²+x-1=0．
由題意知，該方程在（0，+∞）上有兩個相異的實根x₁、x₂，故k≠1，且△=1+4（k-1）＞0…（1），…（2），…（3），
由此解得．對求導(dǎo)，得，
則，，于是直線l₁的方程為，
即，化簡后得到直線l₁的方程為…（4）．
同理可求得直線l₂的方程為…（5）．
（4）-（5）得，
因為x₁≠x₂，故有…（6）．將（2）（3）兩式代入（6）式得x_p=2．
（4）+（5）得…（7），
其中，，
代入（7）式得2y_p=（3-2k）x_p+2，而x_p=2，得y_p=4-2k．
又由得，即點P的軌跡為（2，2），（2，2.5）兩點間的線段（不含端點）．
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及軌跡問題，同時考查了計算能力和分析問題的能力，屬于中檔題．