Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，點P為DD₁的中點．
（1）求證：直線BD₁∥平面PAC；
（2）求證：平面PAC⊥平面BDD₁；
（3）求證：直線PB₁⊥平面PAC．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形中位線的性質證明PO∥BD₁，進而得到線BD₁∥平面PAC．
（2）由底面ABCD是正方形，則AC⊥BD，再由DD₁⊥AC，得到AC⊥面BDD₁，這樣在平面PAC內找到了2條直線和平面BDD₁垂直，問題得證．
（3）△PB₁C中，先求出三邊的長度，使用勾股定理可得PB₁⊥PC，同理可證PB₁⊥PA，這樣，PB₁垂直于平面PAC的2條相交直線，所以直線PB₁⊥平面PAC．
解答：解：（1）設AC和BD交于點O，連PO，
由P，O分別是DD₁，BD的中點，故PO∥BD₁，
所以直線BD₁∥平面PAC．
（2）長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，
底面ABCD是正方形，則AC⊥BD
又DD₁⊥面ABCD，則DD₁⊥AC，
所以AC⊥面BDD₁，則平面PAC⊥平面BDD₁
（3）PC²=2，PB₁²=3，B₁C²=5，所以△PB₁C是直角三角形．PB₁⊥PC，
同理PB₁⊥PA，所以直線PB₁⊥平面PAC．（12分）
點評：本題考查直線和平面平行的證法，2個平面垂直的證法，以及直線和平面垂直的證法．