Question

（13分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F且不與x軸重合的動直線L交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)動直線L的斜率為2時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到L的距離為．

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 過F的另一直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，當(dāng)四邊形的面積S=時(shí)，求直線L的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）x-y-1=0或x+y-1=0

【解析】(Ⅰ)設(shè)F(c,0)，則直線L的方程為2x-y-2c=0，∵坐標(biāo)原點(diǎn)O到L的距離為，

∴，c=1。………………………………………………………2分

∵橢圓經(jīng)過點(diǎn),∴,b=1,由得。

∴橢圓的方程為    ……………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，直線L過點(diǎn)F(1,0)，設(shè)其方程為y=k(x-1)（），點(diǎn)A()，C（），

解得，。

∴，……………………………………………6分

=……………………………8分

∵過F的另一直線交橢圓于兩點(diǎn)，且， ，

∴直線BD的方程為y=(x-1) 。

把式中k換成，類比可得，…………………………10分

∴四邊形的面積， …………11分

解得， ∴直線L的方程為x-y-1=0或x+y-1=0 。   ………………………13分