Question

13．函數(shù)f（x）=log_a（3-ax）（a＞0，a≠1）
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域，并證明g（x）=f（x）-log_a（3+ax）的奇偶性；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f（x）在[2，3]遞增，并且最大值為1，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)f（x）=log_a（3-3x），對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，可得定義域．利用定義判斷奇偶性．
（2）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷a的范圍，根據(jù)在[2，3]遞增，最大值為1，建立關(guān)系求解a即可．

解答 解：（1）由題意：函數(shù)f（x）=log_a（3-ax）（a＞0，a≠1）
當(dāng)a=3時(shí)，可得f（x）=log_a（3-3x）
定義域滿足：3-3x＞0
解得：x＜1，
所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，1）
易知g（x）=log₃（3-3x）-log₃（3+3x），
∵3-3x＞0，且3+3x＞0，
∴-3＜x＜3，
定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又∵g（x）=log₃（3-3x）-log_a（3+3x）
∴g（-x）=log₃（3+3x）-log_a（3-3x）=-g（x）
∴g（x）為奇函數(shù)．
（3）令u=3-ax，（a＞0，a≠1），
∵f（x）=log_au（u＞0）在[2，3]遞增，存在最大值1，
∴u=3-ax在[2，3]上單調(diào)遞減，
又∵函數(shù)f（x）在[2，3]遞增，
∴0＜a＜1．
又∵函數(shù)f（x）在[2，3]的最大值為1，
∴f（3）=1．
即f（3）=log₃（3-3a）=1，
解得：a=$\frac{3}{4}$
故得存在實(shí)數(shù)a=$\frac{3}{4}$使函數(shù)f（x）在[2，3]遞增，并且最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．