Question

已知正項數列{a_n}，a₁=

1

2

，且a_n+1=

2an

an+2

（*）
（1）求證：{

1

an

}是等差數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）數列{b_n}滿足bn=e

1

an

，若

m	b1b2…bm

（m∈N，m≥2），仍是{b_n}中的項，求m在區(qū)間[2，2006]中的所有可能值之和S；
（3）若將上述遞推關系（*）改為：a_n+1＜

2an

an+2

，且數列{na_n}中任意項na_n＜p，試求滿足要求的實數p的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）對an+1=

2an

an+2

兩邊取倒數，得

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，由此能證明{

1

an

}是等差數列，從而得到a_n=

2

n+3

．
（2）

m	b1b2…bm

=

m	e 1 a1 e 1 a2 …e 1 am

=e

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 am

m

=e

m(2+ m+3 2 )

2m

=e

m+7

4

，由此能求出m在區(qū)間[2，2006]中的所有可能值之和S．
（3）對an+1＜

2an

an+2

兩邊取倒數，得

1

an+1

＞

1

an

+

1

2

，由此能求出滿足要求的實數p的取值范圍．

解答： （1）證明：對an+1=

2an

an+2

兩邊取倒數，
得

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，故{

1

an

}是等差數列，
又

1

a1

=2，故

1

an

=2+

(n-1)

2

=

n+3

2

，
∴a_n=

2

n+3

．
（2）解：

m	b1b2…bm

=

m	e 1 a1 e 1 a2 …e 1 am

=e

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 am

m

=e

m(2+ m+3 2 )

2m

=e

m+7

4

設

m	b1b2…bm

是{b_n}中的第n項，
則

m+7

4

=

n+3

2

，

m+7

4

=

n+3

2

⇒m=2n-1
所以S=

1002(3+2005)

2

=1002×1004=1006008．
（3）解：對an+1＜

2an

an+2

兩邊取倒數，得

1

an+1

＞

1

an

+

1

2

，

1

an

=(

1

an

-

1

an-1

)+(

1

an-1

-

1

an-2

)+

1

an-2

+…-

1

a2

+(

1

a2

-

1

a1

)+

1

a1

＞2+

1

2

(n-1)=

n+3

2

，
nan＜

2n

n+3

，而

2n

n+3

＜2，
所以p∈[2，+∞）．

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．