Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，a，b∈R
（1）若a=1，b=-

1

4

，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意得，x|x-1|-

1

4

=0，討論去絕對(duì)值號(hào)求解即可；
（2）函數(shù)f（x）在[0，1]上存在零點(diǎn)，即x|x-a|=-b在[0，1]上有解，令g（x）=x|x-a|，只需-b∈{y|y=g（x），x∈[0，1]}；故討論g（x）=x|x-a|的值域即可．

解答： 解：（1）由題意得，x|x-1|-

1

4

=0；
①當(dāng)x≥1時(shí)，x（x-1）=

1

4

；
解得x=

1+ 2

2

；
②當(dāng)x＜1時(shí)，x（1-x）=

1

4

；
解得x=

1

2

；
故函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為

1+ 2

2

，

1

2

；
（2）函數(shù)f（x）在[0，1]上存在零點(diǎn)，即x|x-a|=-b在[0，1]上有解，
令g（x）=x|x-a|，只需-b∈{y|y=g（x），x∈[0，1]}；
當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）=x|x-a|=x（x-a）在[0，1]遞增，
所以g（x）∈[0，1-a]，
即a-1≤b≤0；
當(dāng)a≥1時(shí)，g（x）=x|x-a|=-x（x-a），對(duì)稱軸x=

a

2

；
又當(dāng)a≥2時(shí)，g（x）在[0，1]遞增，所以g（x）∈[0，a-1]，
即1-a≤b≤0；
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，g（x）在[0，

a

2

]遞增，[

a

2

，1]遞減，
所以g（x）∈[0，

a2

4

]，
即-

a2

4

≤b≤0；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）=x|x-a|=

-x2+ax，x∈[0，a] x2-ax，x∈[a，1]

；
易知，g（x）在[0，

a

2

]遞增，[

a

2

，a]遞減，[a，1]遞減，
所以f（x）_min=0，f(x)max={f(a)，f(1)}={

a2

4

，1-a}，
當(dāng)0＜a≤2(

2

-1)，f（x）_max=f（1）=1-a，
所以g（x）∈[0，1-a]，即a-1≤b≤0；
當(dāng)2（

2

-1）＜a＜1，
f（x）_max=f（a）=

a2

4

，所以g（x）∈[0，

a2

4

]，
即-

a2

4

≤b≤0；
綜上所述：當(dāng)a≤2（

2

-1）時(shí)，a-1≤b≤0；
當(dāng)2（

2

-1）＜a＜2，-

a2

4

≤b≤0；
當(dāng)a≥2時(shí)，1-a≤b≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了絕對(duì)值函數(shù)的應(yīng)用，特別考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，注意分類的標(biāo)準(zhǔn)，屬于難題．