已知兩點M(-2,0),N(2,0),動點P(x,y)在y軸上的射影為H,||是2和的等比中項.
(1)求動點P的軌跡方程;
(2)若以點M、N為焦點的雙曲線C過直線x+y=1上的點Q,求實軸最長的雙曲線C的方程.
解:(1)動點為P(x,y),則H(0,y),=(-x,0),=(-2-x,-y),=(2-x,-y), ∴·=x2-4+y2,且||2=x2.由題意得||2=2·,即x2=2(x2-4+y2),∴為所求點P的軌跡方程. (2)若直線x+y=1與雙曲線C右支交于點Q時,而N(2,0)關(guān)于直線x+y=1的對稱點E(1,-1),則|QE|=|QN|, ∴雙曲線C的實軸長2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=(當(dāng)且僅當(dāng)Q、E、M共線時取“=”),此時,實軸長2a最大為; 若直線x+y=1與雙曲線C左支交于點Q時,同理可求得雙曲線C的實軸長2a最大為. 所以,雙曲線C的實半軸長a=. 又∵c=|MN|=2,∴b2=c2-a2=. 故雙曲線方程為. |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
MN |
MP |
MN |
NP |
A、y2=8x |
B、y2=-8x |
C、y2=4x |
D、y2=-4x |
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MN |
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PH |
PM |
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