已知兩點M(-2,0),N(2,0),動點P(x,y)在y軸上的射影為H,||是2和的等比中項.

(1)求動點P的軌跡方程;

(2)若以點M、N為焦點的雙曲線C過直線xy=1上的點Q,求實軸最長的雙曲線C的方程.

答案:
解析:

  解:(1)動點為P(x,y),則H(0,y),=(-x,0),=(-2-x,-y),=(2-x,-y),

  ∴·x2-4+y2,且||2x2.由題意得||2=2·,即x2=2(x2-4+y2),∴為所求點P的軌跡方程.

  (2)若直線xy=1與雙曲線C右支交于點Q時,而N(2,0)關(guān)于直線xy=1的對稱點E(1,-1),則|QE|=|QN|,

  ∴雙曲線C的實軸長2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=(當(dāng)且僅當(dāng)Q、EM共線時取“=”),此時,實軸長2a最大為;

  若直線xy=1與雙曲線C左支交于點Q時,同理可求得雙曲線C的實軸長2a最大為

  所以,雙曲線C的實半軸長a

  又∵c|MN|=2,∴b2c2a2

  故雙曲線方程為


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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知兩點M(-2,0)、N(2,0),點P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點,滿足|
MN
|•|
MP
|+
MN
NP
=0,則動點P(x,y)的軌跡方程為( 。
A、y2=8x
B、y2=-8x
C、y2=4x
D、y2=-4x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知兩點M(-2,0)、N(2,0),點P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點,滿足|
MN
|•|
MP
|+
MN
MP
=0,則動點P(x,y)的軌跡方程為
y2=-8x
y2=-8x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知兩點M(2,0)、N(-2,0),平面上動點P滿足由|
MN
|•|
MP
|+
MN
MP
= 0

(1)求動點P的軌跡C的方程.
(2)是否存在實數(shù)m使直線x+my-4=0(m∈R)與曲線C交于A、B兩點,且OA⊥OB?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知兩點M(-2,0),N(2,0),點P滿足
PM
PN
=12
,則點P的軌跡方程為
x2+y2=16
x2+y2=16

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2006•重慶一模)已知兩點M(-2,0),N(2,0),動點P(x,y)在y軸上的射影為H,|
PH
|
是2和
PM
PN
的等比中項.
(I)求動點P的軌跡方程;
(II)若以點M、N為焦點的雙曲線C過直線x+y=1上的點Q,求實軸最長的雙曲線C的方程.

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