Question

19．已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx（a，b為常數(shù)，a≠0）在x=$\frac{π}{4}$處取得最小值，則函數(shù)$g（x）=f（{\frac{3π}{4}-x}）$是（　�。�

• A． 偶函數(shù)且它的圖象關于點（π，0）對稱
• B． 偶函數(shù)且它的圖象關于點$（{\frac{3π}{2}，0}）$對稱
• C． 奇函數(shù)且它的圖象關于點$（{\frac{3π}{2}，0}）$對稱
• D． 奇函數(shù)且它的圖象關于點（π，0）對稱

Answer 1

分析 由題意可得f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，求得a=b，由此化簡函數(shù)$g（x）=f（{\frac{3π}{4}-x}）$ 的解析式為$\sqrt{2}$a•sinx，從而得出結論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=asinx+bcosx（a，b為常數(shù)，a≠0）在x=$\frac{π}{4}$處取得最小值，
∴f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，∴$\frac{1}{2}$（a²+b²+2ab）=a²+b²，∴（a-b）²=0，a=b．
函數(shù)$g（x）=f（{\frac{3π}{4}-x}）$=asin（$\frac{3π}{4}$-x）+bcos（$\frac{3π}{4}$-x）=a（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）+a（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）=$\sqrt{2}$a•sinx，
故g（x）是奇函數(shù)，且函數(shù)的圖象關于點點（π，0）對稱，
故選：D．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的圖象特征，屬于基礎題．