Question

5．已知a，b為正實數(shù)，直線y=x-a與曲線y=ln（x+b）相切，則$\frac{{a}^{2}}{2-b}$的取值范圍是（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （0，1）
• C． （0，$\frac{1}{2}$）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)構造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調性即可．

解答 解：函數(shù)y=ln（x+b）的導數(shù)為y′=$\frac{1}{x+b}$=1，x=1-b，切點為（1-b，0），代入y=x-a，得a+b=1，
∵a、b為正實數(shù)，∴a∈（0，1），
則$\frac{{a}^{2}}{2-b}$=$\frac{{a}^{2}}{1+a}$，
令g（a）=$\frac{{a}^{2}}{1+a}$，則g′（a）=$\frac{a（a+2）}{（1+a）^{2}}$＞0，
則函數(shù)g（a）為增函數(shù)，
∴$\frac{{a}^{2}}{2-b}$∈（0，$\frac{1}{2}$）．
故選：C．

點評 本題主要考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．