Question

以一個正五棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有

 

個．（請用數(shù)字作答）

Answer 1

考點(diǎn)：排列、組合的實際應(yīng)用

專題：計算題,排列組合

分析：根據(jù)題意，結(jié)合四點(diǎn)共面的情況分3種情況討論：①、上底面中取3個點(diǎn)，下底面取1個點(diǎn)，②、上底面中取1個點(diǎn)，下底面取3個點(diǎn)，③、上底面中取2個點(diǎn)，下底面取2個點(diǎn)，分別求出每種情況下四面體的個數(shù)，由加法原理計算可得答案．

解答： 解：根據(jù)題意，如圖分3種情況討論：
①、上底面中取3個點(diǎn)，下底面取1個點(diǎn)，
共有C₅³×C₅¹=50個四面體，
②、上底面中取1個點(diǎn)，下底面取3個點(diǎn)，
共有C₅¹×C₅³=50個四面體，
③、上底面中取2個點(diǎn)，下底面取2個點(diǎn)，
共有C₅²×C₅²=100種情況，
其中共面的有3種情況：a、5個側(cè)面，b、5個對角面，c、10個底面五邊形對角線與相對底面與之平行的邊確定的平面，如平面ACD′B′，
此時可以組成四面體100-5-5-10=80個；
綜合可得：一個正五棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有50+50+80=180個：
故答案為180．

點(diǎn)評：本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意4點(diǎn)共面包括“10個底面五邊形對角線與相對底面與之平行的邊確定的平面”