Question

2．若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n+n．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=log₂（1-a_n），求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列遞推式求得首項(xiàng)，且當(dāng)n＞1時(shí)，有S_n-1=2a_n-1+（n-1），與原遞推式作差可得a_n=2a_n-1-1，即$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n-1}-1}=2$，可得數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)為-2，公比為2的等比數(shù)列；
（2）求出設(shè)b_n，由裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 （1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁+1，解得a₁=1．
當(dāng)n＞1時(shí)，由題意，S_n-1=2a_n-1+（n-1），
S_n-S_n-1=（2a_n+n）-[2a_n-1+（n-1）]=2a_n-2a_n-1+1，即a_n=2a_n-1-1．
∴a_n-1=2（a_n-1-1），即$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n-1}-1}=2$，
∴數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)為-2，公比為2的等比數(shù)列；
（2）解：由（1），${a}_{n}-1=-2•{2}^{n-1}=-{2}^{n}$，∴${a}_{n}=1-{2}^{n}$，
∴b_n=log₂（1-a_n）=$lo{g}_{2}{2}^{n}=n$，$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
則${T}_{n}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．