Question

已知直線L：y=3x+3，試求：
（1）點P（4，5）關于直線L的對稱點的坐標；
（2）直線y=x-2關于直線L對稱的直線方程；
（3）直線L關于點A（3，2）對稱的直線方程．

Answer 1

分析：（1）設點P（4，5）關于直線L：y=3x+3 的對稱點的坐標為（a，b），則有題意可得

b-5 a-4  ×3=-1 b+5 2 =3× a+4 2 +3

，求得a、b的值，即可得到點P（4，5）關于直線L的對稱點的坐標．
（2）先求出直線y=x-2與直線L：y=3x+3的交點E的坐標，再在直線y=x-2上取一點M（0，-2），求出點
M（0，-2）關于直線L：y=3x+3的對稱點為N的坐標，由題意可得E、N兩點是所求直線上的兩個點，利用兩點式求得所求直線的方程．
（3）在直線L：y=3x+3上任意取出兩個點C（0，3）、D（-1，0），求出這兩個點關于點A（3，2）對稱點分別為C′、D′的坐標，由題意可得C′、D′是所求直線上的兩個點，由兩點式求得所求直線的方程．

解答：解：（1）設點P（4，5）關于直線L：y=3x+3 的對稱點的坐標為（a，b），則有題意可得

b-5 a-4  ×3=-1 b+5 2 =3× a+4 2 +3

，解得

a=-2 b=7

，
故點P（4，5）關于直線L的對稱點的坐標為（-2，7）．
（2）由

y=x-2 y=3x+3

 可得

x=- 5 2 y=- 9 2

，直線y=x-2與直線L：y=3x+3的交點為E（-

5

2

，-

9

2

）．
再在直線y=x-2上取一點M（0，-2），設點M（0，-2）關于直線L：y=3x+3的對稱點為N（m，n），
則由

n+2 m-0  ×3=-1 n-2 2 =3× m+0 2 +3

 解得

m=-3 n=-1

，即N（-3，-1）．
由題意可得E、N兩點是所求直線上的兩個點，利用兩點式求得所求直線的方程為

y+ 9 2

-1+ 9 2

=

x+ 5 2

-3+ 5 2

，
化簡為 7x+y+22=0．
（3）在直線L：y=3x+3上任意取出兩個點C（0，3）、D（-1，0），求出這兩個點關于點A（3，2）對稱點
分別為C′（6，1）、D′（7，4），
由題意可得C′（6，1）、D′（7，4），是所求直線上的兩個點，
由兩點式求得所求直線的方程為

y-1

4-1

=

x-6

7-6

，即 3x-y-17=0．

點評：本題主要考查求一個點關于某直線的對稱點的坐標的求法，利用了垂直及中點在軸上這兩個條件，還考查了中點公式，用兩點式求直線的方程，屬于中檔題．