Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$．
（1）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，并求反函數(shù)f^-1（x）；
（2）設(shè)g（x）=2log₂$\frac{1+x}{k}$，若不等式f^-1（x）≤g（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=0，由$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1=0}\\{{2}^{x}+1≠0}\end{array}\right.$，解得x即可得出．由y=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，解得x=$lo{g}_{2}\frac{1+y}{1-y}$，把x與y互換，即可得出反函數(shù)．
（2）k＞0，由不等式f^-1（x）≤g（x）得到k²≤（1-x）（1+x）=1-x²，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1=0}\\{{2}^{x}+1≠0}\end{array}\right.$，解得x=0．
∴函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是x=0．
由y=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，解得${2}^{x}=\frac{1+y}{1-y}$，x=$lo{g}_{2}\frac{1+y}{1-y}$，
把x與y互換，可得f^-1（x）=$lo{g}_{2}\frac{1+x}{1-x}$，x∈（-1，1）．
（2）∵k＞0，
∴$lo{g}_{2}\frac{1+x}{1-x}$≤$2lo{g}_{2}\frac{1+x}{k}$=$lo{g}_{2}（\frac{1+x}{k}）^{2}$，
得到k²≤（1-x）（1+x）=1-x²，
∵x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]，
當(dāng)$x=\frac{2}{3}$時(shí)，右邊最小值為$\frac{5}{9}$，
解得$0＜k≤\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴實(shí)數(shù)k的范圍是$（0，\frac{\sqrt{5}}{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反函數(shù)的求法、二次函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．