Question

2．如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長AB=2，側(cè)棱BB₁的長為4，過點(diǎn)B作B₁C的垂線交側(cè)棱CC₁于點(diǎn)E，交B₁C于點(diǎn)F．
（1）求證：A₁C⊥平面BDE；
（2）求三棱錐C-BDE的體積．

Answer 1

分析 （1）先證明：BD⊥A₁C，BE⊥A₁C，再證明A₁C⊥平面BDE；
（2）利用V_C-BDE=V_E-BDC，求三棱錐C-BDE的體積．

解答 （1）證明：因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥AA₁，AC∩AA₁=A，
所以BD⊥平面A₁AC，
所以BD⊥A₁C；（3分）
又因?yàn)锽E⊥B₁C，BE⊥A₁B₁，B₁C∩A₁B₁=B₁，
所以BE⊥平面A₁B₁C，
所以BE⊥A₁C；
因?yàn)锽D∩BE=B
所以A₁C⊥平面BDE．（6分）
（2）解：由題意CE=1，（8分）
所以V_C-BDE=V_E-BDC=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×2×2$=$\frac{2}{3}$（14分）

點(diǎn)評 本題考查線面垂直，考查三棱錐C-BDE的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．