Question

【題目】已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)． （Ⅰ）若 ，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：依題意F（1，0），設(shè)直線AB方程為x=my+1 將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．
設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），所以 y1+y2=4m，y1y2=﹣4． ①
因?yàn)? ，
所以 y1=﹣2y2 ． ②
聯(lián)立①和②，消去y1 ， y2 ， 得 ．
所以直線AB的斜率是 ．
（Ⅱ）解：由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得M是線段OC的中點(diǎn)，
從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，
所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB ．
因?yàn)?
= ，
所以 m=0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值是4．
【解析】（Ⅰ）依題意F（1，0），設(shè)直線AB方程為x=my+1．將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能夠求出直線AB的斜率．（Ⅱ）由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得M是線段OC的中點(diǎn)，從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB ． 由此能求出四邊形OACB的面積最小值．