Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

mx²-2x+1+ln（x+1）（m≥1）．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C：y=f（x）在點(diǎn)P（0，1）處的切線(xiàn)方程；
（Ⅱ）求證：函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間[a，b]，并求出單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度t=b-a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線(xiàn)的斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程即可；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）存在單凋減區(qū)間?f′（x）＜0有解，再由m≥1，x＞-1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到單調(diào)遞減區(qū)間，
再利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及不等式的性質(zhì)即可求出．

解答：解：（Ⅰ）∵點(diǎn)P在函數(shù)y=f（x）上，由f（x）=

1

2

mx²-2x+1+ln（x+1）（m≥1）；
得：f′（x）=mx-2+

1

x+1

（m≥1）；
∴y′|_x=0=-1 故切線(xiàn)方程為：y=-x+1；
（Ⅱ）由f（x）=

1

2

mx²-2x+1+ln（x+1）（m≥1）；
f（x）=得：f′（x）=mx-2+

1

x+1

=

mx2+(m-2)x-1

x+1

，
令h（x）=mx²+（m-2）x-1，
∵△=m²+4＞0，h（-1）=m+2-m-1=1＞0，
∴h（x）=0在（-1，+∞）上一定存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上必有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根a，b，
即h（x）=mx²+（m-2）x-1＜0的解集為（a，b），
由根與系數(shù)的關(guān)系知：a+b=

2-m

m

，ab=-

1

m

，
∴t=b-a=

(b-a)2

=

(b+a)2-4ab

=

1+ 4 m2

，
由m≥1可得：b-a∈（1，

5

]，
∴函數(shù)g（x）存在單凋減區(qū)間[a，b]，函數(shù)y=f（x）的遞減區(qū)間長(zhǎng)度t的取值范圍是（1，

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的處理策略，解題時(shí)，弄清題意，合理運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具的處理策略是關(guān)鍵．