Question

【題目】設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，且左、右焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)的直線交橢圓于軸上方的點(diǎn)，交直線于點(diǎn).直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，直線與直線交于點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，試求直線的方程；

（3）如果，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由題意得到關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組可得橢圓方程；

（2）由題意首先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，由直線垂直的充分必要條件可得直線的斜率，據(jù)此即可求得直線方程；

（3）由題意，聯(lián)立方程求得點(diǎn)H,點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到關(guān)于直線斜率k的表達(dá)式，最后由函數(shù)的單調(diào)性可得的取值范圍.

（1）由定義，解得：.

橢圓方程為. ①

（2）設(shè)直線， ②

則與直線的交點(diǎn).

又，所以設(shè)直線，

由解得，

則直線得斜率為，③

因?yàn)?/span>，故，又，解得，

則直線得方程為.

（3）由（2）中③知，設(shè)直線，

由解得，

聯(lián)立①②，解得，

因?yàn)?/span>，所以，則，

，

因?yàn)?/span>在為減函數(shù)，所以.