【題目】如圖,在四棱錐

當(dāng)時(shí),證明平面平面;

當(dāng)四棱錐的體積為且二面角為鈍角時(shí),求直線與平面所成角的正弦值

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析:的中點(diǎn),連接,由正三角形的性質(zhì)可得,由勾股定理可得根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面,從而根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面平面;(根據(jù)四棱錐的體積為可得,,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以軸, 軸.在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,算出直線的方向向量與平面的法向量,根據(jù)空間向量夾角的余弦公式可得結(jié)果.

試題解析:)取的中點(diǎn),連接,

為正三角形,,

,,

,,

四邊形為矩形,,

, ,,

平面,

平面,平面平面

, ,

平面,平面,

平面平面平面,

過(guò)點(diǎn)平面垂足一定落在平面與平面的交線

四棱錐的體積為,

,

如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),,

在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線為,建立空間直角坐標(biāo)系,

由題意可知, , , , ,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,,

,設(shè)直線與平面所成的角為,

則直線與平面所成角的正弦值為

方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用線面垂直、面面垂直的判定定理以及空間向量求線面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

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