已知函數(shù)f(x)=ax2+4x-2滿足對任意x1,x2∈R且x1≠x2,都有數(shù)學公式
(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)試討論函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上的零點的個數(shù).

解:(1)∵
=
=,
∵x1≠x2,∴a>0.∴實數(shù)a的取值范圍為(0,+∞).
(2)∵a>0,
∴△=16+8a>0,
①a>0時,f(1)=a+2>0,
當0<a≤6時,總有f(-1)≤0,
故0<a≤6時,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有1個零點;
②a>6時,,
故a>6時,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有2個零點.
綜上所述,0<a≤6時,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有1個零點;
a>6時,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有2個零點.
分析:(1)先將 用函數(shù)f(x)的表達式表示出來,再進行化簡得:,由此式即可求得實數(shù)a的取值范圍;
(2)a>0,△=16+8a>0,
當0<a≤6時,f(1)=a+2>0,f(-1)≤0,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有1個零點;a>6時,,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有2個零點.
點評:本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、函數(shù)奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想.屬于難題.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
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(-∞,-2)
(-∞,-2)

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