Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數(shù)，a≠0，x∈R），若f（-1）=0，且函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因為f（-1）=0，所以a-b+1=0． 因為f（x）的值域為[0，+∞），所以．（3分）
可得 b²-4（b-1）=0，解得b=2，a=1，所以f（x）=（x+1）²．…（6分）
（2）因為g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1=，…（8分）
所以當(dāng) 或時，函數(shù)g（x）在∈[-2，2]上單調(diào)．…（11分）
即k的范圍是（-∞，-2]∪[6，+∞）時，g（x）是單調(diào)函數(shù)，
故實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-2]∪[6，+∞）． …（13分）
分析：（1）由f（-1）=0，可得a-b+1=0． 再由f（x）的值域為[0，+∞）可得，由此求得a、b的值，即可求得f（x）的表達(dá)式．
（2）化簡g（x）的解析式為，故當(dāng) 或時，函數(shù)g（x）在∈[-2，2]上單調(diào)，由此求得實數(shù)k的取值范圍．
點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，求函數(shù)的解析式，屬于中檔題．