Question

如圖，已知圓O₁與圓O₂外切于點(diǎn)P，直線AB是兩圓的外公切線，分別與兩圓相切于A、B兩點(diǎn)，AC是圓O₁的直徑，過C作圓O₂的切線，切點(diǎn)為D．
（Ⅰ）求證：C，P，B三點(diǎn)共線；
（Ⅱ）求證：CD=CA．

Answer 1

（Ⅰ）連接PC，PA，PB，
∵AC是圓O₁的直徑，∴∠APC=90°，
作⊙O₁與⊙O₂的內(nèi)公切線MP交AB與點(diǎn)M．
又∵AB是兩圓的外公切線，A，B為切點(diǎn)，
∴∠BAP=∠MPA，∠MPB=∠MBP，
∵∠BAP+∠APB+∠ABP=180°，
∴∠MPA+∠MPB=∠APB=90°，
∴∠CPB=180°．
∴C，P，B三點(diǎn)共線．
（Ⅱ）∵CD切圓O₂于點(diǎn)D，∴CD²=CP•CB．
在△ABC中，∠CAB=90°，又∵AP⊥BC，∴CA²=CP•CB．
故CD=CA．