Question

（文）已知橢圓

x2

16

+

y2

4

=1內(nèi)一點(diǎn)A（1，1），則過點(diǎn)A且被該點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)過A點(diǎn)的直線與橢圓兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，得到兩個(gè)關(guān)系式，分別記作①和②，①-②后化簡(jiǎn)得到一個(gè)關(guān)系式，然后根據(jù)A為弦EF的中點(diǎn)，由A的坐標(biāo)求出E和F兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和，表示出直線EF方程的斜率，把化簡(jiǎn)得到的關(guān)系式變形，將E和F兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和代入即可求出斜率的值，然后由點(diǎn)A的坐標(biāo)和求出的斜率寫出直線EF的方程即可．

解答：解：設(shè)過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則有

x12

16

+

y12

4

=1①，

x22

16

+

y22

4

=1②，
①-②式可得：

(x1-x2)(x1+x2)

16

+

(y1-y2)(y1+y2)

4

=0，
又點(diǎn)A為弦EF的中點(diǎn)，且A（1，1），∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
即得k_EF=

y1-y2

x1-x2

=-

4(x1+x2)

16(y1+y2)

=-

4×2

16×2

=-

1

4

，
∴過點(diǎn)A且被該點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是y-1=-

1

4

(x-1)，即x+4y-5=0．
故答案為：x+4y-5=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系及中點(diǎn)弦問題的求解策略，關(guān)鍵在于對(duì)“設(shè)而不求法”的掌握．