Question

已知函數（a＞0，a≠1），
（1）若a＞1，且關于x的方程f（x）=m有兩個不同的正數解，求實數m的取值范圍；
（2）設函數g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），g（x）滿足如下性質：若存在最大（�。┲�，則最大（小）值與a無關．試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令a^x=t，將“方程f（x）=m有兩個不同的正數解”轉化為：“關于t的方程有相異的且均大于1的兩根”，即關于t的方程t²-mt+2=0有相異的且均大于1的兩根，求解．
（2）根據題意有g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），根據指數函數，分①當a＞1時，②當0＜a＜1時，兩種情況分析，每種情況下，根據絕對值，再按照x≥0時和-2≤x＜0兩種情況討論．最后綜合取并集．
解答：解：（1）令a^x=t，x＞0，
∵a＞1，所以t＞1，
∴關于x的方程f（x）=m有兩個不同的正數解
轉化為：方程有相異的且均大于1的兩根，
∴
解得，
故實數m的取值范圍是．
（2）g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞）
①當a＞1時，
x≥0時，a^x≥1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈[3，+∞），
-2≤x＜0時，，g（x）=a^-x+2a^x，所以
ⅰ當即時，對?x∈（-2，0），g′（x）＞0，所以g（x）在[-2，0）上遞增，
所以，
綜上：g（x）有最小值為與a有關，不符合（10分）
ⅱ當即時，由g′（x）=0得，
且當時，g′（x）＜0，
當時，g′（x）＞0，
所以g（x）在上遞減，在上遞增，
所以=，
綜上：g（x）有最小值為與a無關，符合要求．
②當0＜a＜1時，
a）x≥0時，0＜a^x≤1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈（0，3]
b）-2≤x＜0時，，g（x）=a^-x+2a^x，
所以＜0，g（x）在[-2，0）上遞減，
所以，
綜上：a）b）g（x）有最大值為與a有關，不符合
綜上所述，實數a的取值范圍是．
點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用，主要涉及了方程的根，函數的最值等問題，還考查了分類討論思想，轉化思想．