Question

15．已知f（x）是實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且對(duì)任意x∈R，f（x+1）=f（x+2）+f（x）恒成立．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）已知f（3）+2=0，求f（2010）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)任意x∈R，f（x+1）=f（x+2）+f（x）恒成立，以及遞推關(guān)系可得f（x+3）=-f（x），將x+3代入可得f（x+6）=f（x），最后根據(jù)周期函數(shù)的定義可知f（x）的周期，從而證得結(jié)論；
（2）根據(jù)f（x）是周期函數(shù)且6是它的一個(gè)周期，將f（2010）轉(zhuǎn)化成f（0），而f（0）與f（3）互為相反數(shù)，即可求出所求．

解答 （1）證明：由f（x+1）=f（x+2）+f（x），得f（x+2）=f（x+3）+f（x+1）
∴f（x+3）+f（x）=0，f（x+3）=-f（x）
因此f（x+6）=-f（x+3）=f（x）．
∴f（x）是周期函數(shù)，且6是它的一個(gè)周期．
（2）∵f（x+3）=-f（x）且f（3）=-2，∴f（0）=-f（3）=2．
又f（2 010）=f（335×6）=f（0），∴f（2 010）=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)的周期性，以及求函數(shù)值等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題．