Question

定義在R上函數(shù)滿足f（x+

5

2

）+f（x）=0，g=f（x+

5

4

）為奇函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①f（x）的最小正周期為

5

2

②f（x）的圖象關(guān)于（

5

4

，0）對稱
③f（x）的圖象關(guān)于x=

5

2

對稱；
④f_minx=f（

5

4

）．
其中正確的是

 

，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①f（x+5）=f(x+

5

2

+

5

2

)=-f(x+

5

2

)=f（x），而f(x+

5

2

)=-f（x）≠f（x），即可得出函數(shù)f（x）的最小正周期；
②由f（x+

5

4

）為奇函數(shù)，可得f(-x+

5

4

)=-f(x+

5

4

)，令x+

5

4

=t，則x=t-

5

4

，可得f(

5

2

-t)=-f(t)，即可得出函數(shù)的中心對稱性；
③由②可得：f(

5

2

-x)=-f(x)，而f（x+

5

2

）+f（x）=0，可得f(

5

2

-x)=f(

5

2

+x)，即可得出函數(shù)的軸對稱性；
④由②f（x）的圖象關(guān)于（

5

4

，0）中心對稱，不可能有fmin(x)=f(

5

4

)．

解答： 解：對于①，f（x+5）=f(x+

5

2

+

5

2

)=-f(x+

5

2

)=f（x），而f(x+

5

2

)=-f（x）≠f（x），∴函數(shù)f（x）的最小正周期為5，因此①不正確；
對于②，∵f（x+

5

4

）為奇函數(shù)，∴f(-x+

5

4

)=-f(x+

5

4

)，令x+

5

4

=t，則x=t-

5

4

，∴f(

5

2

-t)=-f(t)，即f(

5

2

-x)+f(x)=0，因此f（x）的圖象關(guān)于（

5

4

，0）對稱，②正確；
對于③，由②可得：f(

5

2

-x)=-f(x)，而f（x+

5

2

）+f（x）=0，∴f(

5

2

-x)=f(

5

2

+x)，∴f（x）的圖象關(guān)于x=

5

2

對稱，因此③正確；
對于④，由②f（x）的圖象關(guān)于（

5

4

，0）中心對稱，不可能有fmin(x)=f(

5

4

)，因此④不正確．
綜上可得：只有②③正確．
故答案為：②③．

點(diǎn)評：本題考查了抽象函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．