某同學(xué)參加政治、歷史、生物、地理四門(mén)學(xué)科的學(xué)業(yè)水平測(cè)試，假設(shè)該同學(xué)歷史學(xué)科測(cè)試成績(jī)?yōu)锳的概率為
4
5
，其余三門(mén)學(xué)科測(cè)試成績(jī)?yōu)锳的概率均為
1
2
，且四門(mén)學(xué)科測(cè)試成績(jī)是否為A相互獨(dú)立．
（1）求該同學(xué)恰有兩門(mén)學(xué)科測(cè)試成績(jī)?yōu)锳的概率；
（2）設(shè)四門(mén)學(xué)科中測(cè)試成績(jī)?yōu)锳的門(mén)數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．
考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差
專題：概率與統(tǒng)計(jì)
分析：（1）設(shè)事件Ai（i=1，2，3，4）分別表示“該同學(xué)政治、歷史、生物、地理”四門(mén)學(xué)科測(cè)試成績(jī)?yōu)锳”，則P（A1）=
4
5
，P（A2）=P（A3）=P（A4）=
1
2
，由此能求出該同學(xué)恰有兩門(mén)學(xué)科測(cè)試成績(jī)?yōu)锳的概率．
（2）隨機(jī)變量ξ的可能取值是0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．
解答： 解：（1）設(shè)事件Ai（i=1，2，3，4）分別表示
“該同學(xué)政治、歷史、生物、地理”四門(mén)學(xué)科測(cè)試成績(jī)?yōu)锳”，
則P（A1）=
4
5
，P（A2）=P（A3）=P（A4）=
1
2
，
該同學(xué)恰有兩門(mén)學(xué)科測(cè)試成績(jī)?yōu)锳的概率是：
P=P（A1A2
.
A3
.
A4
）+P（A1A3
.
A2
.
A4
）+P（A1A4
.
A2
.
A3
）
+P（A2A3
.
A1
.
A4
）+P（A2A4
.
A1
.
A3
）+P（A3A4
.
A1
.
A2
）
=
4
5
C
1
3
×
1
2
×(1-
1
2
)2
+C
2
3
×(
1
2
)2×(1-
4
5
)×(1-
1
2
)=
3
8
．
∴該同學(xué)恰有兩門(mén)學(xué)科測(cè)試成績(jī)?yōu)锳的概率是
3
8
．
（2）隨機(jī)變量ξ的可能取值是0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=
1
5
×(
1
2
)3=
1
40
，
P（ξ=1）=
4
5
×(
1
2
)3+
C
1
3
×(
1
2
)3×
1
5
=
7
40
，
P（ξ=2）═
4
5
C
1
3
×
1
2
×(1-
1
2
)2
+C
2
3
×(
1
2
)2×(1-
4
5
)×(1-
1
2
)=
3
8
，
P（ξ=3）=
1
5
×(
1
2
)3
C
2
3
(
1
2
)3×
4
5
=
13
40
，
P（ξ=4）=
4
5
×(
1
2
)3=
1
10
，
∴ξ的分布列為：
 ξ 01 2 3 4 
 P 
1
40
 
7
40
 
3
8
 
13
40
 
1
10
∴Eξ=0×
1
40
+1×
7
40
+2×
3
8
+3×
13
40
+4×
1
10
=
23
10
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過(guò)疫區(qū)．B肯定是受A感染的．對(duì)于C，因?yàn)殡y以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是
1
2
．同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是
1
3
．在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)x就是一個(gè)隨機(jī)變量．寫(xiě)出x的分布列（不要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程），并求x的均值（即數(shù)學(xué)期望）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：如圖，四棱錐S-ABCD底面為平行四邊形，E、F分別為邊AD、SB中點(diǎn)，
（1）求證：EF∥平面SDC．
（2）AB=SC=1，EF=
3
2
，求EF與SC所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

為了宣傳“低碳生活”，來(lái)自五個(gè)不同生活小區(qū)的5名志愿者利用周末休息時(shí)間到這五個(gè)小區(qū)進(jìn)行演講．每個(gè)志愿者隨機(jī)地選擇去一個(gè)生活小區(qū)，且每個(gè)生活小區(qū)只去一個(gè)人．
（1）求甲恰好去自己生活小區(qū)宣傳的概率；
（2）求甲、乙都沒(méi)有去自己生活小區(qū)宣傳的概率；
（3）記五人中恰好去自己生活小區(qū)宣傳的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（sinωx-cosωx，sinωx），
b
=（sinωx+cosωx，
3
cosωx）．設(shè)函數(shù)f（x）=
a
•
b
+λ（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈（
1
2
，1）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（
π
5
，0），求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖為函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，|φ|＜π）圖象的一段．
（1）求其解析式；
（2）若將y=Asin（ωx+φ）的圖象向左平移
π
6
個(gè)單位長(zhǎng)度后得y=f（x），求f（x）的對(duì)稱軸方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

甲、乙兩人參加某電視臺(tái)舉辦的答題闖關(guān)游戲，按照規(guī)則，甲先從6道備選題中一次性抽取3道題獨(dú)立作答，然后由乙回答剩余3道題，每人答對(duì)其中2題就停止答題，即為闖關(guān)成功．已知6道備選題中，甲能答對(duì)其中的4道題，乙答對(duì)每道題的概率都是
2
3
．
（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率；
（Ⅱ）設(shè)乙答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為η，求η的方差；
（Ⅲ）設(shè)甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知關(guān)于x，y的二元一次方程組為
a2
2-1
x
y
=
e
f
﹒
（Ⅰ）若該方程組有唯一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=2，且該方程組存在非零解
x
y
滿足
e
f
=λ
x
y
，求λ的值﹒

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

袋中裝有5只紅球和4只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得3分，取到1只黑球得1分，設(shè)得分為隨機(jī)變量ξ，則ξ≥8的概率P（ξ≥8）=
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案